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5个没能解决的“简单”数学问题

本帖由 白熊~2016-11-20 发布。版面名称:自然科学

  1. 白熊~

    白熊~ 中尉

    5个没人能解决的“简单”数学问题


    时间: 2016年11月18日 | 作者: Avery Thompson | 来源: Popular mechanics
    数学有时候会变得特别复杂,然而幸好不是所有的数学问题都晦涩难懂。

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    1. Collatz 猜想


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    随意选一个整数,如果它是偶数,那么将它除以2;如果它是奇数,那么将它乘以3再加1。对于得到的新的数,重复操作上面的运算过程。如果你一直操作下去,你每次都终将得到1。

    数学家们试验了数百万个数,至今还没发现哪怕一个不收敛到1的例子。然而问题在于,数学家们也没办法证明一定不存在一个特殊的数,在这一操作下最终不在1上收敛。有可能存在一个特别巨大的数,在这一套操作下趋向于无穷,或者趋向于一个除了1以外的循环的数。但没有人能证明这些特例的存在。

    2. 移动沙发问题


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    你要搬新家了,想把你的沙发搬过去。问题是,走廊有个转角,你不得不在角落位置上给沙发转方向。如果这个沙发很小,那没什么问题。如果是个挺大的沙发,估计得卡在角落上。如果你是个数学家,你会问自己:能够在角落上转过来的最大的沙发有多大呢?这个沙发不一定得是矩形,可以说任何形状。

    这便是“移动沙发问题”的核心,具体来说就是:二维空间,走廊宽为1,转角90°,求能转过转角的最大二维面积是多少?

    能转过转角的最大二维面积被称为“沙发常数”(the sofa constant)——这是真的,我不是骗你读书少。没人知道它到底有多大,但我们知道有一些相当大的沙发可以转得过去,所以我们知道沙发常数一定比它们大;也有一些沙发无论如何都转不过去,因此沙发常数一定比这些转不过去的面积小。迄今位置,我们知道沙发常数落在2.2195到2.8284之间。

    3. 完美立方体问题


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    还记得勾股定理,A2 + B2 = C2 吗?A、B、C三个字母表示直角三角形的三边长。毕达哥拉斯三角形指的是三边长都是整数的直角三角形,即满足A2 + B2 = C2且A、B、C都是整数。现在我们将这个概念扩展到三维,在三维空间,我们需要四个数A、B、C和G。前三个数是立方体的三维边长,G是立方体的空间对角线长度。

    正如有些三角形的三边都是整数一样,存在一些立方体的三边和体对角线(A、B、C和G)都是整数,但对于立方体来说还有三个面对角线(D、E和F),这就带来一个有趣的问题:有没有立方体满足这个7个边长都是整数的条件呢?

    问题的目标在于找到一个立方体满足A2 + B2 + C2 = G2,且全部的边和对角线长度都是整数,这种立方体被称为完美立方体(perfect cuboid)。数学家们测试了各种不同的可能构型,还没找到任何一个满足条件的情况。但他们也不能证明这样的立方体不存在,因此搜寻完美立方体的工作还在继续。

    4. 内接正方形问题


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    随手画一个闭合曲线,这个曲线不一定要是圆,可以是任何你想要的形状,但曲线的起终点必须重合且曲线不能穿越自身,在这个曲线上可能找到四个点连成一个正方形。内接正方形假设的内容就是,每条闭合曲线(确切来说是每个平面内的简单闭合曲线)一定有一个内接正方形,这个正方形上四点都在这个闭合曲线上的某处。

    许多闭合曲线上内接其他形状的问题都已经得到了解决,例如矩形或者三角形等,但正方形却有点复杂,至今数学家们还没有搞明白这个问题的正式证明。


    5. 美好结局问题

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    这个问题之所以被命名为“美好结局问题”,是因为它促成了一对数学家的美好姻缘:数学家George Szekeres和Esther Klein都曾致力于解决这一问题,他们最终结婚了(而这个问题仍未解决)。概括来说,这个问题是这样的:

    在一张纸面上随机放置5个点,假设这5个点排布不特殊(比如排在一条直线上),你总能找到其中四个点构成凸四边形,也即四个边夹角小于180°的四边形。这个定理的要点在于,不管这5个点的位置排布如何,你总能在5个点中构造一个凸四边形。

    这是四边形的情况,而数学家发现,为了确保构造出一个凸五边形,似乎需要9个点;对于六边形则需要17个点,但此外更多边形的情况我们不清楚。构造七边形和更多变形需要多少点,依然是个谜。更重要的是,理应有一个公式告诉我们对于某一边数,需要多少个点。科学家们认为这个公式可能是M=1+2N-2,其中M是点数而N是边数。但至今为止数学家们能够证明的也就是上述这些有限范围内的结论了。

    撰文 Avery Thompson
    翻译 张奕林
    审校 丁家琦

    原文链接:http://www.popularmechanics.com/science/g2816/5-simple-math-problems/
     
    已获得 我叫萨比 的点赞。
  2. 后面的看不懂了
     
  3. Congo

    Congo 中校

    好高级啊
     
  4. 白熊~

    白熊~ 中尉

    觉得这个不够简单的,可以看一下“魔群月光猜想”。这篇文章原本是面向没学过高等数学之普罗大众的科普文——你看看它解释傅里叶展开的段落就明白了。我高数是优秀,但看了这篇文章后还是忍不住嘀咕:神马玩意,鬼话连篇!并非不赞同其观点,而是晦涩难懂。

    在硬着头皮读了几遍之后,我的理解程度也就是:研究魔群这类数学现象的人,发现一种特殊的函数(模函数中的J函数)和魔群有联系。而这种发人深省的联系,还能解释弦理论和量子引力论。



    1978年,数学家约翰·麦凯(John McKay)注意到了某些像是奇怪巧合般的现象。当时,他正在研究一类神秘难解的单群,并试图探究其结构的不同表达式——这类散在单群有着所有已知散在单群中最大的阶数,数学家们称它为“魔群”(Monster Group),他相信“魔群”中隐藏着一些新的对称规律。不过,那时的数学家们并不能确定“魔群”是否真实存在,但是他们知道,如果真能找到符合条件的“魔群”,它们一定有着特定的阶数,最小的阶数是1,随后是196883。

    麦凯当时正在加拿大蒙特利尔的康考迪亚大学,有一天他碰巧看到一篇有关完全不同领域的数学论文,论文中讨论的是数论中的基本对象之一——J函数。麦凯敏锐地注意到J函数的第一个重要系数是196884,他马上想到这是魔群前两位特殊阶数(1和196883)的数量之和。

    不过对于这个发现,大多数数学家都认为只是偶然现象,毕竟魔群和J函数简直就是风马牛不相及的两个事物。但凡事总有例外——数学家约翰·汤普森(John Thompson)注意到了魔群和J函数之间奇妙的联系,并将这个发现又向前推进了一步。汤普森教授现在正在美国佛罗里达大学,他是1970年菲尔兹奖(Fields Medal)的获得者。汤普森教授发现了J函数的第二个系数:21493760,居然是魔群前三个特殊阶数的数值和:1 + 196883 + 21296876。到了这个地步,人们不禁怀疑,J函数在某种程度上可以“约束”捉摸不定的魔群结构。

    很快,另两名数学家又证实了许多类似的数学上的联系,这让数学家们意识到这些现象绝非单纯的巧合。1979年,在一篇名为《魔群月光》(Monstrous Moonshine)的论文里,约翰·康威(John Conway,现为普林斯顿大学数学教授)和西蒙·诺顿(Simon Norton,剑桥大学数学教授)一同推测,这些数学上的相关性,必定来自于魔群与J函数在更深层次上的联系。“他们将这个猜想命名为‘月光’,不是因为这个猜想富有浪漫色彩,而是指这个猜想是那么地可望而不可即。”德国马普数学研究所主任唐·扎吉尔(Don Zagier)这么说道,“在当时看来,这个猜想简直就是空谈和妄想,指望有人能证明它不过是一厢情愿罢了。”

    实际上就连构建魔群本身,花去的时间也远比数学家们所计划的长得多,不过数学家们给自己找到了一个非常好的借口:魔群中包含的元素数目超过了10的53次方,这个数字比地球上所有原子的1000倍还要多。在1992年,也就是密歇根大学的罗伯特·格里斯(Robert Griess)构建出魔群的十周年之际,加州大学伯克利分校数学系教授理查·博赫茲(Richard Borcherds)终于揭开了过去那个遥不可及的“月光”幻想的神秘面纱,并凭此获得了1998年的菲尔兹奖。博赫茲证实,在魔群和J函数这两个完全不同的数学领域之间确实存在着一个连接的桥梁,这个桥梁可能会让你有些惊讶,它的名字是:弦理论。这个与常识相悖的理论告诉我们,宇宙中存在着许多微小的隐藏维度,微小到人们根本无法直接探测到它们;而在这些维度之中存在着“弦”,这些弦的振动能产生我们在宏观尺度下观察到的物理现象。

    2015年,研究者在论文预印本网站arxiv.org上发表了一篇论文,展示了一系列被他们称为“伴影月光猜想”(Umbral moonshine conjecture,构想于2012年)的数学证据。在这篇论文中,研究者提出在“魔群月光猜想”(魔群和J函数之间存在联系)之外,还存在着其他23种不同的“月光猜想”:即在对称群的阶数和一些特殊函数的系数之间,存在着原理未知的奇妙对应(如果你不能理解阶数和系数的关系,看下图)。其实,这些新加入的“月光猜想”中的函数,早就出现在某位数学史上难得一见的天才的一封信里。这封颇有先见之明的信件早已遥遥领先其所处时代,就算再往后推半个世纪,“月光猜想”也还只是数学家们脑海中惊鸿一瞥的念头。

    新找到的23种“月光猜想”似乎到处都交织着弦理论中最核心的结构之一——一种被称为“K3曲面”的四维实流形。“该曲面与‘伴影月光猜想’的紧密联系暗示着在这些曲面中存在着某些隐藏的对称性。”来自阿姆斯特丹大学和法国国家科学研究中心的数学家、理论物理学家程之宁(Miranda Cheng)这么说道,她与美国凯斯西储大学数学家约翰·邓肯(John Duncan)和芝加哥大学物理学家杰弗里·哈维(Jeffery Harvey)一同最先提出“伴影月光猜想”,“这些发现有着非常重要的意义,我们需要更深入地去理解它们。”她接着补充。
     
    最后编辑: 2016-12-15
  5. 白熊~

    白熊~ 中尉

    魔群月光

    任何已知图形的对称性中都暗含一种天然的算术特性。举例来说,假设我们将一个正方形旋转90度后水平翻折,那么我们得到的图形与我们直接沿对角线翻折原图形是一样的——也即是说,“90度旋转+水平翻折=沿对角线翻折”。19世纪,数学家们意识到他们可以将这种类似的算法抽象为“群”(group)的代数概念。单一的抽象群能够表征多种不同形状的图形的对称性,这让数学家们可以见微知著,从一个小点出发理解不同图形的共性。

    在整个20世纪的大多数时间里,数学家们都致力于给所有能找到的“群”分类。而在这个过程中,他们渐渐发现了一些奇怪的现象:尽管大多数简单有限群都符合自然分类,但是有26个“怪胎”却与整体的分类法格格不入,它们被称为散在单群。而在这26个“怪胎”中最大的、也是最晚才被科学家们发现的,就是魔群。

    有限单群的分类是代数学里的一个巨大的工程。有关的文章大多发表于1955年至2004年之间,目的在于将所有的有限简单群都给清楚地分类。这项工程总计约有100位作者在500篇期刊文章中写下了上万页的文字,详见《环球科学》2015年8月号《拯救宇宙中最宏伟的定理》。

    要讲述这个“魔群月光”的故事,显然只有魔群并不够——故事还需要第二个主角:J函数。在麦凯偶然发现魔群和J函数间存在联系(约40年前)之前,人们压根儿没想到这两者之间会有什么关系。J函数属于一类特殊的函数(模函数),这类函数的图像有着类似于荷兰知名版画艺术家莫里茨·埃舍尔(M. C. Escher)所画的天使与魔鬼镶嵌图的重复样式:在这种重复样式里,越远离中心图案缩得越小(见下图)。这些‘模块化’的函数(即模函数,modular function)在数论研究中可是立下了不少汗马功劳——就比如在1994年数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)证明费马大定理(Fermat’s Last Theorem)的过程中,模函数就起到了决定性的作用。“任何时候如果有人告诉你数论领域有了新的巨大突破,那么这个结论十有八九是和模函数相关的。” 卡赫鲁这样告诉我们。

    就像声波一样,J函数显示出的重复模式也可以被分解为一系列正弦波,而函数的系数就是正弦波的振幅,如果用声波作比,系数代表的就是我们感知到每一个频率声音的响度。(对于学过高等数学的读者,事情就比较简单了,这就是J函数的傅里叶展开系数。)好了,说到这里现在我们可以将J函数和魔群联系起来了,麦凯正是通过这些展开的函数系数找到了J函数和魔群之间的关系。

    早在20世纪90年代,以耶鲁大学伊戈尔·弗伦克尔(Igor Frenkel)、罗格斯大学詹姆士·莱彼斯基(James Lepowsky)和瑞典隆德大学的阿恩·摩尔曼(Arne Meurman)这三位数学家的工作为基础,博赫兹(上文中提到的魔群月光的证实者)通过一个特定的弦理论模型让麦凯的发现有了实在的意义。在这个弦理论模型中,J函数和魔群同时起到了作用——J函数的系数决定着弦在每个能级(energy level)上振动方式的数目,而魔群则约束着模型在这些能级上的对称性。

    这个发现给了数学家们一个全新的思维角度,即利用J函数去研究让人头脑爆炸的魔群——毕竟J函数的系数比起阶数巨大的魔群,计算起来还是要简单得多。“数学其实是一门研究‘造桥’的学科,数学家们寻找不同理论之间的联系桥梁,然后把复杂麻烦的那个,用简单清晰的另一个替代。”邓肯向我们这么解释,“只是有时候这些‘桥梁’实在好用得过头,以至于人们在找到足够证据确信它能够使用之前,它看起来就像是某种疯狂的妄想。”